Analisi matematica by Soardi P. M.

By Soardi P. M.

Nel quantity vengono trattati in modo rigoroso gli argomenti che fanno parte tradizionalmente dei corsi di Analisi matematica I: numeri reali, numeri complessi, limiti, continuità, calcolo differenziale in una variabile e calcolo integrale secondo Riemann in una variabile. Le nozioni di limite e continuità sono ambientate negli spazi metrici, di cui viene presentata una trattazione elementare ma precisa. I concetti astratti sono ogni volta interpretati e discussi nel caso di funzioni reali di variabile reale. Tutti i risultati enunciati nel libro vengono dimostrati, o nel corso dell'esposizione, o nelle appendici dei vari capitoli. Tuttavia, questo libro non vuole essere un'opera puramente teorica. Vengono trattati argomenti che spesso sono demandati alle esercitazioni: il calcolo dei limiti consistent with funzioni a valori reali o vettoriali, il calcolo delle derivate, i modi più comuni di integrazione. Tutti gli argomenti esposti sono corredati da numerosi esempi e determine.

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N, . } l’insieme dei numeri naturali. 1 Sia X un insieme non vuoto. Una successione a valori in X `e una funzione f : N →X. L’immagine f (n) dell’intero n viene abitualmente indicata con xn . Il valore xn si chiama termine generale o termine n-esimo della successione. La successione viene indicata mediante un allineamento x1 , x2 , x3 , . . xn , . . oppure mediante uno dei simboli ∞ {xn }n=1 {xn }n∈N {xn } . Questi simboli vengono usati sia per denotare la successione che il suo codominio. , , ...

Sn . . ove i due allineamenti sono periodici. Siano r(n) e s(n) le loro troncate n-esime. 2) r(n) ≤ r < r(n) + 10−n da cui e s(n) ≤ s < s(n) + 10−n r + s − 2 · 10−n < r(n) + s(n) ≤ r + s. 1) Si osservi che tutte le somme precedenti sono nel campo razionale. 1) segue immediatamente che r + s = supn r(n) + s(n) . 1) vale rs − (r + s)10−n − 10−2n < r(n) s(n) ≤ rs. Per una migliore comprensione delle operazioni in R introduciamo il concetto di successione che si stabilizza. 2 Sia γ1, γ2, . . , γn .

Poniamo N = {x1 , x2 , x3 , . . , xn , . } Per il punto a), N c contiene a sua volta un sottoinsieme numerabile {y1, y2 , y3 , . . , yn , . } ⊂ N c . ∞ Formiamo la successione {zn }n=1 con la seguente legge: z2n−1 = xn , z2n = yn . Chiamiamo Z l’insieme degli elementi della successione. La funzione f (x) = x z2n = yn se x ∈ Z c se x = zn ∈ Z applica biunivocamente X su N c . 2 Un insieme non vuoto X `e infinito se e solo se esiste un suo sottoinsieme proprio A tale che X ∼ A. Dimostrazione. Se esiste un insieme infinito A ⊂ X tale che X ∼ A, l’insieme X non pu`o essere finito.

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